Рассчитать абсолютную погрешность как для прямых измерений. Абсолютная и относительная погрешности
Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.
Случайные погрешности при прямых измерениях
Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:
Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:
.
Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:
(2)
называется средней абсолютной погрешностью .
Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:
.
(3)
Приборные погрешности при прямых измерениях
Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).
Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).
Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).
Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:
Например:
и
,
где U max и I max – предел измерения прибора.
Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.
После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.
Вычисление погрешностей при косвенных измерениях
Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).
Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:
X = f(a ,b ,c …).
Одним из способов
вычисления погрешности является способ
дифференцирования натурального логарифма
функции Х = f(a
,
b
,
c
…).
Если, например, искомая величина Х
определяется соотношением Х =
,
то после логарифмирования получаем:lnX
= lna
+ lnb
+ ln(c
+
d
).
Дифференциал этого выражения имеет вид:
.
Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:
=
.
(4)
Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:
Х = Х(5)
Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:
1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.
2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.
3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:
X = f(a ,b ,c …).
4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).
5)
Рассчитывают относительную погрешность
=
.
6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).
7) Окончательный результат записывают в виде:
|
Х = Х ср Х |
Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:
|
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a+ b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a+ b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Результат измерений физической величины всегда отличается от истинного значения на некоторую величину, которая называется погрешностью КЛАССИФИКАЦИЯ: 1. По способу выражения: абсолютные, приведенные и относительные 2. По источнику возникновения: методические и инструментальные. 3. По условиям и причинам возникновения: основные и дополнительные 4. По характеру изменения: систематические и случайные. 5. По зависимости от входной измеряемой величины: аддитивные и мультипликативные 6. По зависимости от инерционности: статические и динамические. 13. Абсолютная, относительная и приведенная погрешности.Абсолютная погрешность - это разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины: где А изм, А - измеряемое и действительное значения; ΔА - абсолютная погрешность. Абсолютную погрешность выражают в единицах измеряемой величины. Абсолютную погрешность, взятую с обратным знаком, называют поправкой. Относительная погрешность р равна отношению абсолютной погрешности ΔА к действительному значению измеряемой величины и выражается в процентах: Приведенная погрешность измерительного прибора - это отношение абсолютной погрешности к номинальному значению. Номинальное значение для прибора с односторонней шкалой равно верхнему пределу измерения, для прибора с двусторонней шкалой (с нулем посередине) - арифметической сумме верхних пределов измерения:
14. Методическая, инструментальная, систематическая и случайная погрешности.Погрешность метода обусловлена несовершенством применяемого метода измерения, неточностью формул и математических зависимостей, описывающий данный метод измерения, а также влиянием средства измерения на объект свойства которого изменяются. Инструментальная погрешность (погрешность инструмента) обусловлена особенностью конструкции измерительного устройства, неточностью градуировки, шкалы, а также неправильностью установки измерительного устройства. Инструментальная погрешность, как правило, указывается в паспорте на средство измерения и может быть оценена в числовом выражении. Систематическая погрешность - постоянная или закономерно изменяющаяся погрешность при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях измерения. Например, погрешность, возникающая при измерении сопротивления ампервольтметром, обусловленная разрядом батареи питания. Случайная погрешность - погрешность измерения, характер изменения которой при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях случайный. Например, погрешность отсчета при нескольких повторных измерениях. Причиной случайной погрешности является одновременной действие многих случайных факторов, каждый из которых в отдельности мало влияет. Случайная погрешность может быть оценена и частично снижена путём правильной обработки методами математической статистики, а также методами вероятности. 15. Основная и дополнительная, статическая и динамическая погрешности.Основная погрешность - погрешность, возникающая в нормальных условиях применения средства измерения (температура, влажность, напряжение питания и др.), которые нормируются и указываются в стандартах или технических условиях. Дополнительная погрешность обуславливается отклонением одной или нескольких влияющих величин от нормального значения. Например, изменение температуры окружающей среды, изменение влажности, колебания напряжения питающей сети. Значение дополнительной погрешности нормируется и указывается в технической документации на средства измерения. Статическая погрешность - погрешность при измерении постоянной по времени величины. Например, погрешность измерения неизменного за время измерения напряжения постоянного тока. Динамическая погрешность - погрешность измерения изменяющейся во времени величины. Например, погрешность измерения коммутируемого напряжения постоянного тока, обусловленная переходными процессами при коммутации, а также ограниченным быстродействием измерительного прибора. Пусть измеряемая имеет известное значение величина X
.
Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x
1
,
x
2
,…
xn
заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X
.
Тогда величина
Однако при малых объемах выборки вместо Для четных n, значение Ме
равно полусумме значений двух средних результатов. Например, Для расчета s
пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком. Величина Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t )
Пример 1.
Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68. По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t =2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn. Пример 2.
Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности. Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s . Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:
Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:
со степенями свободыf = n – m , где n – общее число определений, n = m . n j . Пример 2.
Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с различным содержанием его. Значения анализа, % Mn: Значения квадратов разностей s = 0,014 % (абс. при f =15 степеням свободы). Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят значения х" и х" , для образцов уравнение преобразуется в выражение. Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле: Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. Относительная погрешность вычислений находится по формуле: Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами. После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Вычислим абсолютную погрешность
: Вычислим относительную погрешность:
Ответ
: Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 4 Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями. Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом: Пример 5 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание: Пример 6 Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой. Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д. Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу Записываем очевидную функцию Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики. Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам: Таким образом
: После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так! В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: Дальнейшее шаблонно:
Таким образом
: Ответ: Пример 7 Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта. Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение . Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки. Пример 8 Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а . А вот и рабочая формула: Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же ! По условию требуется найти приближенное значение функции в точке . Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели
: Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка: И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть - надо его съесть. Вычислим значение функции в точке : Дифференциал функции в точке найдём по формуле: Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке . Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Полный дифференциал в точке : Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке : Вычислим точное значение функции в точке : Вот это значение является абсолютно точным. Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье. Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность: Пример 9 Вычислить приближенное значение функции Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность таков а - чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой. Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока). Пример 10
Решение:
Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных: Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , . Вычислим значение функции в точке : Дифференциал в точке найдем по формуле: Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке . Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
Полный дифференциал в точке : Таким образом, приближенное значение данного выражения:
Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527 Найдем относительную погрешность вычислений:
Ответ: , Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной. Пример 11 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений. Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока. Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий - это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации: Пример 12 С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения. Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах. Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора! Решения и ответы:Пример 2 : Решение:
Используем формулу: Ответ: Пример 4: Решение:
Используем формулу: Таким образом: Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
Относительная погрешность: Пример 5: Решение: Используем формулу: В данном случае: Ответ:
Пример 7: Решение:
Используем формулу: Часто в жизни нам приходится сталкиваться с различными приближенными величинами. Приближенные вычисления - всегда вычисления с некоторой погрешностью. Понятие абсолютной погрешностиАбсолютная погрешность приближенного значения это модуль разности точного значения и приближенного значения. Как вычислять абсолютную погрешностьПокажем, как это может выглядеть на практике. Например, у нас имеется график некоторой величины, пускай это будет парабола: y=x^2. По графику мы сможем определить приблизительное значение в некоторых точках. Например, при x=1.5 значение у приблизительно равно 2.2 (y≈2.2). По формуле y=x^2 мы можем найти точное значение в точке x=1.5 у= 2.25. Теперь вычислим абсолютную погрешность наших измерений. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05. Абсолютная погрешность равна 0.05. В таких случаях еще говорят значение вычислено с точность до 0.05. Часто бывает так, что точное значение не всегда можно найти, а, следовательно, абсолютную погрешность не всегда возможно найти. Например, если мы будем вычислять расстояние между двумя точками с помощью линейки, или значение угла между двумя прямыми с помощью транспортира, то мы получим приближенные значения. А вот точное значение вычислить невозможно. В данном случае, мы можем указать такое число, больше которого значение абсолютной погрешности быть не может. В примере с линейкой это будет 0.1 см, так как цена деления на линейке 1 миллиметр. В примере для транспортира 1 градус потому, что шкала транспортира проградуирована через каждый градус. Таким образом, значения абсолютной погрешности в первом случае 0.1, а во втором случае 1. Нужна помощь в учебе? Предыдущая тема: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пр.
ном.
с помощью дифференциала.
в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.
в точке 
(формулы можно найти в той же таблице).
(при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.
в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.
. Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.
;
.
, ,
, абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений
